La acción circular que se requiere para construir el toro es invisible para tus sentidos (ver recuadro 3).
Recuadro 15: Cómo doblar el cuadrado y el cubo, y las raíces cúbicas
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En estas investigaciones de cómo doblar el cuadrado, el cubo, y otros retos que LaRouche ha planteado, encontramos que tenemos que hacer muchas construcciones. Si el lector fiel no se ha acobardado y ha iniciado el proceso de batallar con estos problemas, ya se ha topado con dos cosas. Primero, un cierto nivel de frustración, un cohete en la cola que incita al alma industriosa a trabajar más. Y, segundo, un sentido de que, a fin de cuentas, la investigación no se trata en realidad de doblar el cuadrado o el cubo.
Comparado con doblar el cuadrado, doblar el cubo representa una paradoja mayor, y es de un orden de magnitud más difícil de descubrir. Como Platón describe en el Timeo, el cubo es característico del universo visible: le ofrece superficies y líneas, como partes de sí mismo, a los ojos de nuestra mente. La línea y el plano, aparentemente más elementales, no tienen una existencia independiente (excepto en “Planilandia”). Vemos líneas y planos, sólo porque el espacio visible es “cúbico”, o sea, esférico. Pero nunca vemos en realidad el cubo. Parte de él siempre se oculta a la vista. Necesitamos múltiples vistas del mismo objeto con las que la mente construye una idea de su apariencia cabal.
Ahí yacen preguntas sobre el universo en su totalidad, sólo que no están a la vista. Cuando tratamos de prenderlas, parecen moverse justo fuera de alcance. ¿Qué fue lo que Arquitas vio en el cubo? Sabía que requiere un concierto de acciones circulares para producirlo, y que esas acciones las ordenan poderes que están fuera del cubo. D’Alambert y De Moivre, por lo contrario, querían torturar al cubo; querían obligarlo a someterse, a ceder su profundidad, a hacerlo que se convirtiera en tan sólo otra superficie más. Querían arrancarle la vida para poder convertirlo en una ecuación y prenderlo en su colección entomológica, al lado de la lepidóptera. Querían evitar que reconocieras el poder del descubrimiento dentro de tu propia mente.
Acuérdate de cuando descubriste cómo doblar el cuadrado (¡dobla el cuadrado ahora mismo, si no lo has hecho aún!). ¿Qué imágenes pasaron por tu mente? Tal vez abrir tu correo o cortar un pan tostado o doblar tus sábanas. A menudo, algo que por lo general no relacionas con la geometría se convierte en la inspiración con la que generas el descubrimiento. Pero, cada una de estas imágenes es una experiencia que tu mente de hecho reconoce como poseedora de la especie de acción decisiva que dobla el cuadrado. Entonces, ¿estaba ya ese descubrimiento en alguna parte de tu mente, o fue una creación del todo nueva?
Compara ahora la acción de doblar el cuadrado con la de doblar el cubo. Hemos visto que doblar tanto el cuadrado como el cubo requieren acciones circulares (ver figura 1).
| FIGURA 1. |
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La acción circular que se requiere para construir el toro es invisible para tus sentidos (ver recuadro 3). |
Encontrar una media entre dos extremos, para generar todas las magnitudes cuadradas, puede representarse como instancias dentro de una sola acción circular (ver figura 2).
Según Arquitas, encontrar la construcción para crear dos medias entre dos extremos exige una acción circular adicional, ortogonal a aquella acción que tiene el poder de generar magnitudes cuadradas (ver figura 3).
| FIGURA 2. | FIGURA 3. |
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Dentro del círculo: una media entre dos extremos. |
Dos acciones circulares en relación ortogonal la una con la otra, generan dos medias entre dos extremos. |
Así, vemos que los poderes cuadrados son en realidad una sombra de ese principio que genera las magnitudes cúbicas. Recuerda que cuando uno ve un cubo, en realidad estás armando un conjunto de imágenes de cuadrados y líneas, que son proyecciones del cubo que no puedes ver.
Adelantémonos hasta el momento en que Gauss entra a la pelea. Él definió las raíces de todas las ecuaciones algebraicas como la intersección de dos superficies generadas por la acción circular multiconexa, que intersecan en un plano. Al ver esto desde la óptica de Gauss, la ecuación algebraica no es el poder determinante, sino que se produce como un efecto de las características generales de las dos superficies. Por ejemplo, las raíces de una ecuacion cúbica son en realidad las intersecciones de tres superficies, dos de las cuales se disparan a infinito tres veces en una rotación (ver figura 4).
| FIGURA 4. | |
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Las dos superficies para una ecuación cúbica (a), y las curvas que forma su intersección con el plano (b). |
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Las raíces son así un aspecto integral de toda la geometría de la superficie, tal como las dos medias son efectos de la intersección de tres superficies curvas diferentes. No obstante, a diferencia de la construcción cúbica de Arquitas, las superficies de Gauss pueden construirse para generar cualquier poder.
¿Qué dicen estas construcciones sobre el espacio visible? Cuando vemos objetos tales como los cubos, ¿de veras estamos viendo lo que creemos que vemos? O, ¿estamos viendo una representación metafórica de algo que se oculta tras los sentidos, que irónicamente también genera lo que ahora reconocemos como la construcción de Arquitas o como la construcción de Gauss de las raíces algebraicas? Sólo con esta suerte de estudio irónico podemos empezar a prender científicamente el origen de esa noción huidiza que está “tras bastidores”.
—Riana St. Classis y Peter Martinson.
—Traducción de Carlos Cota Moreno, miembro del Movimiento de Juventudes Larouchistas en México.