Recuadro 16: La criba de Eratóstenes
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“En el principio ellos veían sin ver, escuchaban sin oír, y semejantes a las imágenes de los sueños, vivían su larga existencia en el desorden y la confusión. Nada sabían de las viviendas construidas con ladrillos endurecidos al sol; no sabían labrar la madera, y vivían bajo tierra, como las ágiles hormigas, en lo más escondido de cavernas donde no penetraba la luz. No había para ellos señal segura ni del invierno ni de la florida primavera ni del fértil verano; todo lo hacían por instinto, hasta el día en que les instruí en la difícil ciencia de las salidas y los ocasos de los astros. Siguió después la de los números, la más importante de las ciencias que para ellos inventé, así como la composición de las letras, memoria de todas la cosas, madre de las Musas.
—Prometeo, hablando en el Prometeo encadenado de Esquilo.
Este origen astronómico del número y su conexión con el desarrollo económico del hombre, enunciado por Prometeo, va a la médula del único método veraz para abordar la ciencia. Sin embargo, desde entonces lo aspirantes a esbirros de Zeus, quienes han tratado de evitar que surjan nuevos prometeos, han atormentado a innumerables generaciones al sustituir este origen físico–geométrico del número con una forma sofista de aritmética que asocia al número con el mero conteo de cosas. Así, la restauración de la cordura en economía, que con tanta urgencia se necesita hoy, está vinculada con deslastrarse de esas nociones infantiles de aritmética que usan los banqueros, contadores y físicos estadísticos, remplazando semejante necedad con las nociones superiores de los números asociadas con Platón, Eratóstenes, Cusa, Fermat, Leibniz, Gauss, Dirichlet y Riemman.
Una simple forma pedagógica de empezar a desmistificar los orígenes astronómicos del número y restaurar la salud mental de las víctimas de las computadoras digitales, es examinar el ejemplo de los ciclos astronómicos más identificables: el día terrestre, el mes lunar y el año solar. Cada ciclo es una acción físicamente completa. Así, cada ciclo reclama para sí el número uno. No obstante, los tres existen en un solo universo. Siendo así, tiene que haber un Uno superior que subsuma a estos unos relativos. El número, como lo entendieron Platón, Eratóstenes, Cusa, Leibniz y Gauss, se desenvuelve a partir de tales relaciones entre estos unos relativos cuando se les considera en relación con una unidad superior. Por eso Cusa dijo en Sobre la conjetura: “La esencia del número es el dechado primo de la mente”.
Así, cuando se considera a uno de estos ciclos como uno, los otros devienen en múltiplos de ese uno. Por ejemplo, cuando se toma el día terrestre como uno, el mes lunar contiene un múltiplo de días. Después de 29 días terrestres, el ciclo lunar está casi completo, pero no del todo. La Tierra completará otro ciclo antes de que la Luna complete el suyo. Desde esta perspectiva, un mes lunar y un día terrestre son relativamente inconmensurables. Sin embargo, luego de dos ciclos lunares, la Tierra y la Luna regresarán a su orientación original.
Ahora añade el ciclo solar. Compara eso con los ciclos lunar y terrestre en lo individual, y a los tres juntos. Nota la conmensurabilidad e inconmensura bilidad mutuas de los ciclos.
A partir de esta suerte de determinación físico–astronómica del número, los pitagóricos entendieron la existencia de dos especies de números: los racionales, asociados con ciclos que a fin de cuentas se tornan con mensurables, y los irracionales, asociados con ciclos que son inherentemente inconmensurables.
Para captar esto, piensa en dos ciclos, representados por círculos del mismo tamaño. Permite que uno ruede alrededor de la circunferencia del otro. Después de una rotación del círculo rodante, los dos círculos estarán en la misma relación que al comienzo del ciclo (ver figura 1). Ahora reduce el diámetro del círculo que rueda y examina el efecto que causa esta reducción en la conmensurabilidad o inconmensurabilidad de los ciclos. Habrá algunas relaciones en las que los dos círculos sean inconmensurables (ver figura 2). Habrá otras en las que el círculo rodante complete su ciclo después de un número finito de rotaciones. Estos números conmensu rables se llaman números enteros, 1, 2, 3, 4... y números racionales, 2/3, 5/4, etc. (ver figura 3).
| FIGURA 1 | FIGURA 2 |
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| FIGURA 3 | |
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Pero éste es un método de “abajo para arriba”. Ahora considera la misma generación de números de “arriba para abajo”. En vez de crear estas proporciones racionales al crear primero números enteros 1, 1+1, 1+1+1, etc., comienza con un concepto del Uno y deriva los números enteros como partes. Para expresar esto en términos geométricos, toma un círculo como el Uno y divídelo. Partir el círculo a la mitad produce dos partes, y, así, el número 2. Partir de nuevo a la mitad produce cuatro partes, y el número 4; partir otra vez da ocho partes, etc. Pero, aunque este proceso producirá cada vez más divisiones del círculo, y la serie de los números enteros, 2, 4, 8, 16, etc., semejante proceso nunca dividirá al círculo (Uno) en tres partes.
Para dividir el círculo en tres partes y obtener así un concepto del número 3, se requiere una acción completamente diferente. Una vez logrado esto, las tres partes pueden partirse a la mitad para producir 6 partes, y partirse otra vez a la mitad para producir 12. También, cada una de las tres partes puede dividirse de nuevo en tres partes, produciendo 9, y de ahí 27, etc. A partir de este proceso se forman las divisiones en poderes de 3, poderes de 2, y múltiplos de los poderes de 3 y 2. Pero semejante proceso, aunque produce una infinidad de divisiones posibles, nunca dividirá al círculo en 5, 7 u 11 partes.
Los griegos reconocieron a esos tipos de números, 2, 3, 5, 7, 11, etc., que no pueden formarse por la combinación de otras divisiones, sino que de ellos se pueden formar otras divisiones, como los números “primos”. De modo que los números primos son los números de los cuales se crean todos los demás.
La existencia misma de los números primos es ya un indicio de la insensatez de pensar en números que se generan por el método infantil de sumar 1, y de definir una aritmética por las operaciones formales de la suma, la resta, la multiplicación y la división. Cada operación tal, en vez de ser un conjunto de reglas, tienen que entenderse, como la existencia misma de los números primos da fe de ello, como un tipo diferente de acción física.
Un concepto aun más profundo sale a relucir cuando uno pretende encontrar el ciclo que genera los números primos. Desde el método de abajo para arriba de sumar 1, los números primos parecen surgir de golpe, sin advertencia. A veces dos aparecen cerca el uno del otro, como el 11 y el 13, y a veces hay varios números entre ellos, como pasa con el 23 y el 29. Aunque la densidad de los números primos decrece conforme se vuelven más grandes, nunca dejan de aparecer.
Así, para encontrar siquiera los números primos —los números de los que están hechos todos los demás números—, ha de abandonarse el método de abajo para arriba por el dominio de lo que Gauss llamó “la aritmética superior”. Ese dominio trata la clase entera de los números como un Uno, y todos los números se consideran con respecto a su relación con ese Uno. Pero, puesto que el número de números es infinito, tenemos que pensar en ese Uno desde el concepto físico–geométrico de número asociado con el origen astronómico del número que enunció Prometeo.
Un concepto superior de número
Este concepto superior de número lo expresa el método para encontrar los números primos que creó Eratóstenes, al cual llamó “criba”. La criba toma todos los números como su punto de partida, y extrae los primos de manera similar a la ilustración anterior de las divisiones del círculo.
Para construir la criba de Eratóstenes, crea una serie de números del 1 hasta el límite que quieras. Entonces, empezando por el 2, saca de la serie todos los múltiplos de 2. Luego pasa al próximo número más alto que no fue extraído, que sería el 3. Extrae de la serie todos los múltiplos de 3. Al agotarse esto, pasa al siguiente número más alto después del 3 que no fue extraído, que sería el 5. Continúa este proceso. La criba extraerá todos los números primos de la serie (ver figura 4).
| FIGURA 4 |
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De esta manera, como empieza a emerger la existencia de un ciclo más complejo, el de los números primos, que refleja la compleja estructura geo métrica del universo físico mismo. Esa estructura la siguieron investigando Fermat, Gauss, Dirichlet y Riemann. La profundidad de dichas ideas rebasa el alcance de este breve informe, pero su investigación, como dijo Platón, acerca a la mente a la verdad y al ser.
—Bruce Director.
—Traducción de Exadis Vera Zapata.