Recuadro 6

Recuadro 6: El argumento de Kästner a favor de la geometría antieuclidiana

“Si dos líneas rectas en el mismo plano son perpendiculares a una tercera, entonces nunca se intersecan. Esta conclusión resulta del claro concepto de la línea recta: porque de un lado de la tercera línea todo es idéntico al otro lado y, así, las dos líneas también tendrían que intersecar del otro lado si intersecan en éste. Pero no pueden intersecar dos veces...

“Sin embargo, cuando sólo una de las dos líneas es perpendicular a la tercera, y la otra no forma un ángulo recto, entonces, ¿se intersecan? Y, ¿de qué lado de la tercera línea?...

“¿Por qué necesariamente debe ocurrir algo con una línea recta oblicua, que no tiene que ocurrir cuando uno la remplaza con una línea curva?... Así, la dificultad concierne a la diferencia entre las líneas curvas y las rectas. Una línea curva significa una línea en la que ninguna parte es recta. Este concepto de una línea curva es preciso, porque el concepto de línea recta es claro; pero también es incompleto, porque el concepto de línea recta es meramente claro”.¹

Bueno, para comprender eso tendrás que entender esta importante parábola: Un día, un estudiante de ciencias de la informática del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) se enamoró de una de sus condiscípulas. Él la veía cada día, todo el día, cuando iba a sus clases y a hacer otras labores, y cuando comía su almuerzo y platicaba con sus amigos; y estaba tan enamorado que por fin un día corrió a su casa, se encerró en su cuarto, y metió todos sus datos observados en la computadora, creando la réplica perfecta que podría conservar en su escritorio. Se le declaró, la réplica rechazó su propuesta, y sin pensarlo más se arrojó por la ventana al tráfico de abajo. La joven, quien, a diferencia de su doble virtual, estaba en realidad igual de enamorada de él, no se deprimió en lo absoluto, pues ya había aceptado la propuesta de matrimonio que le hizo el programa que había escrito como su sustituto.

Wellington: Ésa es una historia extraña. ¿A qué viene?

George: La moraleja de la historia es que no puedes confundir tu imagen con la realidad que trataste de reemplazar con ella, no importa qué tanto parezca cuadrar con los hechos. Esto era lo que señalaba Abraham Kästner en relación con los Elementos de Euclides. Cada declaración ahí contenida, en lo individual, fue producto de una investigación veraz que emprendieron las mentes más grandes de la tradición pitagórica, pero la estructura en la que Euclides montó estas verdades es, de entrada, falsa, y en consecuencia nos deja con cimientos endebles, por decir lo menos. Por ejemplo, ¿es cierto que en todos los triángulos los ángulos equivalen a dos ángulos rectos?

Wellington: Bueno, sí. Si llamamos a nuestro triángulo ABC, (ver figura 1), y extendemos los lados AC, CB y AB a HD, CF y AI, respectivamente, y luego simplemente agregamos la línea GE paralela a HD, podemos decir que las siguientes afirmaciones son ciertas:

La suma de los ángulos ACB y BCD nos da dos ángulos rectos, como puede verse de inmediato en el dibujo (ver figura 2), del mismo modo que, si giras un poco la hoja, puedes ver que la suma de los ángulos FBE y CBE da dos ángulos rectos. Pero, como las líneas GE y HD son paralelas, el ángulo FBE es igual al ángulo BCD, como puede verse. Por tanto, la suma de los ángulos FBE y ACB tiene que ser igual a dos ángulos rectos, lo mismo que la suma de los ángulos FBE y CBE, lo cual vuelve iguales a ACB y CBE. Y puesto que, de nuevo, los ángulos HAB y CAB, juntos, forman dos ángulos rectos, y nuevamente, como la línea GE es paralela a la línea HD, los ángulos GBI y HAB son iguales. Por consiguiente, la suma de los ángulos GBI y CAB es lo mismo que la suma de los ángulos GBI y ABG, de modo que los ángulos CAB y ABG tienen que ser iguales. Pero los ángulos ABG, CBE y ABC, juntos, forman dos ángulos rectos, como puedes ver en la ilustración; por ende, los ángulos CAB, ACB y ABC, los tres ángulos del triángulo, son iguales a dos ángulos rectos. Y, si seguiste eso, verás que puede demostrarse con facilidad para todo triángulo. Ésa es la proposición 32 del libro I de los Elementos de Euclides.

George: ¡Qué bueno! Y todo lo que necesitaste fueron líneas paralelas. Pero, déjame preguntarte, ¿qué hace que dos líneas sean paralelas?

Wellington: Eso es fácil, dos líneas que no se intersecan.

George: He aquí cómo lo enuncia Euclides en su axioma 11: si una línea recta (C) que cruza dos líneas rectas (A y B) hace que los ángulos interiores (a y b) del mismo lado sean menores que dos ángulos rectos (180°), las dos líneas rectas, de proyectarse a infinito, se unen en aquel lado en el que los ángulos sean menores que los dos ángulos rectos (ver figura 3).

Wellington: Ésa es una prueba bastante rigurosa.

George: O lo inverso, que Euclides se cuida de enunciar: si a y b son iguales a 180°, entonces se dice que A y B son paralelas, nunca se intersecan.

Wellington: Aceptado.

George: Construyamos esta paradoja, para que quede bien clara. Saca un papel y trázala. Al reproducir la imagen, pruébala primero con ángulos a y b lo bastante pequeños como para que tus líneas A y B se intersequen y formen un triángulo en el papel.

Wellington: Bastante fácil, me parece que se intersecan.

George: Muy bien, ahora empieza de nuevo, y traza otra con los ángulos a y b un poco más abiertos. ¿Llegan a intersecarse?

Wellington: Se ve bien.

George: Y una vez más; esta vez hazlos muy abiertos, pero de no más de 179°. ¿Se cruzaron?

Wellington: No. Bueno, aún no.

George: ¿Quizás necesitas otra hoja de papel?... Inténtalo con una hoja de papel enorme.

Wellington: Bueno, como funcionó antes, puedo imaginarme que terminarán por hacerlo.

George: ¿Como éste de aquí (ver figura 4)?

Wellington: Sí, manteniendo siempre esta relación perpendicular, las líneas nunca se acercan la una a la otra; eso es lo que las hace paralelas.

George: Bien, ¿qué hay de estas dos líneas? Están a la misma distancia la una de la otra (ver figura 5). Con éstas, ¿es cierta nuestra construcción previa, que aparece en la figura 2 (ver figura 6)?

Wellington: Bueno, las líneas tienen que ser rectas.

George: ¿Qué quiere decir que las líneas sean rectas?

Wellington: Quiere decir que no se curvan.

George: ¿Qué quiere decir que una línea sea curva (ver figura 7)?

Wellington: Si una línea es recta, será la distancia más corta entre dos puntos cualquiera. Si se curva en lo absoluto, será más larga de lo necesario para viajar de un punto al otro.

George: Es como si camináramos de aquí directo a otra ciudad, sin dar vuelta nunca.

Wellington: Bueno, no. En ese caso la línea se curvaría, porque no caminas sobre una superficie plana. La distancia real más corta entre dos puntos cualquiera sobre la Tierra no sería sobre la superficie de la misma, sino sobre el plano que corta a la Tierra.

George: Y, ¿cómo sabríamos que nuestro plano es plano, cuando la Tierra no lo es?

Wellington: El plano no se curvaría como la Tierra. El plano sólo sería bidimensional, en tanto que la Tierra sería tridimensional. Podrías caminar a todas partes sobre el plano yendo hacia adelante y hacia atrás o a la derecha y la izquierda, sin tener que subir ni bajar.

George: ¿Estás diciéndome que eso no es cierto sobre la superficie de la Tierra? ¿Necesitas cualquier otra dirección además de las dos de norte–sur y este–oeste cuando le das a alguien direcciones, por ejemplo, o al navegar? ¿Cómo es que la Tierra no tiene dos dimensiones o, a ese respecto, cualquier superficie sobre la que estés parado (ver figura 8)?

Wellington: No, las superficies curvas implican un movimiento vertical como parte de los otros dos movimientos. Usaremos un ejemplo con líneas en vez de superficies, que explica lo mismo. Para la línea recta, sólo necesitas ir en una dirección, lateral. Pero para la línea curva necesitas ir lateralmente y luego subir. Puedes ir a todas partes sobre la línea recta con una dimensión, pero la línea curva necesita dos (ver figura 9).

George: Pero acabas de trazar “arriba” en relación con una línea recta. Y todavía no sabemos qué es una línea recta o una superficie plana. Es más, si tomas esa ilustración y la pones de cabeza, podríamos decir que lo que llamaste curvo sólo iba en una dirección, digamos norte–sur, pero que la distancia desde ella hasta lo que llamaste plano cambiaba constantemente. Lateral, y luego arriba. Según tu definición, eso haría unidimensional la línea curva, y bidimensional la plana (ver figura 10).

Wellington: Espera, ahora estoy confundido, esto es aun más extraño que la historia con la que empezaste.

George: Bueno, es exactamente lo que Abraham Kästner dijo sobre el problema que estamos teniendo: “Así, la dificultad concierne a la diferencia entre las líneas curvas y las rectas. Una línea curva significa una línea en la que ninguna parte es recta. Este concepto de una línea curva es preciso, porque el concepto de línea recta es claro; pero también es incompleto, porque el concepto de línea recta es meramente claro”.

Parece que tenemos muy claro lo que son curvo y recto, y en consecuencia no nos molestamos en preguntar. Con lo que topamos al hacer esta pregunta, es con el lavado cerebral debilitante que le impuso Euclides a la geometría de la Grecia antigua al crear su sistema (carcelario) formal. Kästner puso en tela de juicio esta autoridad arbitraria, provocando a su estudiante Carl Friedrich Gauss a darle por fin respuesta a la pregunta —“¿qué es la curvatura?”— de forma decisiva.²

—Sky Shields y Aaron Halevy.

—Traducción de Hugo López Ochoa.

[1]. “Sobre los conceptos que subyacen al espacio”, de Abraham Kästner, 1790.

[2]. Consulta las siguientes fuentes:

“Investigaciones generales de las superficies curvas”, de C.F. Gauss, 1827.

“Ensayo para el premio Copenhague”, de C.F. Gauss, 1824.

Elementos, de Euclides.