El libro de János de Bolyai, La ciencia absoluta del espacio, el cual él mismo promete que “exhibe la ciencia absolutamente verdadera del espacio, independiente del onceavo axioma de Euclides (el cual no puede decidirse a priori), con la cuadratura geométrica del círculo en el caso de su falsedad”. Su método de investigación era el siguiente:

Toma todas las líneas BN paralelas a una línea AM dada, y perpendiculares a la línea que conecta sus extremos B y A, y el complejo de tales puntos B formará una superficie F (ver figura 1).

FIGURA 1	FIGURA 2

Transforma el plano F de modo que todas las líneas BN corten a AM en M. Ahora, en vez de sostener el supuesto de que las líneas paralelas nunca se intersecan, supongamos, en cambio, que sí lo hacen (y, como prueba Bolyai, necesariamente en el mismo punto N). Nuestra superficie F se convierte en algo diferente (ver figura 2).

Bolyai prueba entonces que, “es evidente que el axioma XI de Euclides y todas las cosas que se afirman en la geometría y la trigonometría plana siguen siendo absolutamente ciertos en F, al sustituir las rectas con líneas L: por consiguiente, las funciones trigono métricas se toman aquí en el mismo sentido que en Σ...”.

Pero demuestra que varias cosas paradójicas se vuelven posibles, tal como que existen casos en los que las líneas de área AMEP, aunque son más grandes que AMBN, pueden moverse, sin estirarlas, para que se ajusten exactamente a las líneas de la segunda (ver figura 3).

FIGURA 3

Con Euclides no puede darse semejante proyección; sin embargo, Bolyai ha mostrado que esto es posible aun con una congruencia entre AMEP y AMBN que resulta de las líneas paralelas, “lo cual es sin duda singular, pero evidentemente no prueba lo absurdo de S (S es la geometría de Bolyai–Ndr.)”.

No obstante, el trabajo de Bolyai había dejado insatisfecha la tarea de Abraham Kästner de construir una geometría libre del postulado de las paralelas. Gauss, aunque impresionado por el trabajo de este joven —que presentaba resultados que él había obtenido muchos años antes, pero que nunca publicó—, reconoció que Bolyai, a pesar de que pretendía em prender una investigación revolucionaria de la naturaleza del espacio físico, dejó de lado la investigación de la naturaleza de las herramientas usadas en dicha investigación. Las cuestiones fundamen tales que conciernen a la existencia ontológica real de las líneas rectas y curvas nunca se cuestionaron, sino que más bien se las consideró como juguetes legados por Dios.

Las cartas de Gauss sobre geometría antieuclidiana

Las siguientes cartas fueron el método con el que Gauss llevó a sus contemporáneos a trabajar a fondo la diferencia entre una geometría no euclidiana en tanto mero modelo matemático, y la geometría antieuclidiana como la única geometría verdaderamente física (estas cartas vienen en F. Gauss, Werke; Banda 8, Gotinga, 1900).

“Todos mis esfuerzos por encontrar alguna contradicción, alguna inconse cuencia en esta geometría antieuclidiana han sido en vano, y a ese respecto sólo una cosa frustra nuestro entendimiento; esto es, que, de ser cierta [la geometría antieuclidiana], tiene que haber alguna magnitud lineal en el espacio (aunque desconocida para nosotros) determinada en y por sí misma. Sin embargo, sospecho que, a pesar de los sabios sinsentidos del metafísico, en realidad sabemos demasiado poco o nada en lo absoluto acerca de la verdadera naturaleza del espacio, como para que sea permisible mezclar lo que nos parece anormal con lo absolutamente imposible. De ser la geometría anti euclidiana la verdadera, y conservar la antedicha constante una relación razonable con tales magnitudes que yacen o en el dominio de nuestras mediciones sobre la Tierra o en el cielo, uno podría averiguarlas a posteriori”.

—Carta de Gauss a Taurinus, del 8 de noviembre de 1824.

“La geometría antieuclidiana no contiene nada contradictorio, aunque al principio alguna gente considerará paradójicos muchos de sus resultados; aunque, empero, considerarlos con tradictorios sería un autoengaño que surge de habituarse desde joven a pensar en la geometría euclidiana como rigurosamente verdadera... No hay nada de contradictorio en esto, siempre y cuando el hombre finito no presuma querer considerar algo infinito como dado y capaz de comprenderse con su modo acostumbrado de ver las cosas”.

—Carta de Gauss a Schumacher, del 12 de julio de 1831.

“A fin de tratar la geometría como es debido desde el comienzo, es indispensable probar la posibilidad del plano; la definición común contiene demasiado, y en realidad implica ya de manera subrepticia un teorema. Uno debe extrañarse de que todos los autores, desde Euclides hasta tiempos más recientes, trabajaron con tanta negligencia: esta sola dificultad es definitivamente de una naturaleza diferente a la de decidir entre Σ [la geometría euclidiana] y S [la geometría no euclidiana de Bolyai], y la primera no es difícil de resolver”.

—Carta de Gauss a Farkas Bolyai, del 6 de marzo de 1832.

János Bolyai (1802-1860)

“Otro tema en el que he estado pensando durante mi escaso tiempo libre, que para mí ya tiene casi 40 años, [son] los primeros fundamentos de la geometría... Aquí también he con solidado bastante, y mi convicción de que no podemos sentar completamente los fundamentos de la geometría a priori, se ha —en lo posible— afirmado aun más. Entre tanto, probablemente no llegaré a publicar mis muy amplias investigaciones en mucho tiempo, y quizás esto nunca ocurra mientras viva, pues temo los chillidos de los beocios si hablara claro y de lleno sobre mis ideas. Sin embargo, es curioso que, aparte de la conocida brecha en la geometría euclidiana —para la que todos los esfuerzos por llenarla hasta ahora han sido en vano, y la cual nunca será llenada—, exista otro defecto que hasta ahora nadie ha criticado que yo sepa, y que (aunque sea posible) de ningún modo se remedia con facilidad. Éste es la definición de un plano como una superficie que contiene completamente a la línea uniendo dos puntos cualquiera. Esta definición contiene más de lo necesario para determinar la superficie, y de forma tácita implica un teorema que primero tiene que probarse”.

—Carta de Gauss a Bessel, del 27 de enero de 1829.

“Mi propósito ha sido, en lo que a mi propio trabajo se refiere, del cual aun hay poco escrito, no dejar que nada del mismo se conozca durante mi vida. La mayoría de la gente no tiene un sentido correcto en lo absoluto, en cuanto a cuál es el quid de este asunto, y he encontrado sólo a pocos que han abordado lo que les he mostrado con algún interés. Para esto, uno primero tiene que haber sentido como es debido lo que falta en realidad, y la mayoría de la gente no tiene para nada claro esto. Mi intención más bien era poner todo en papel con el tiempo, de modo que al menos no se iría al hoyo conmigo”.

—Carta de Gauss a Farkas Bolyai, del 6 de marzo de 1832.

“[E]l camino que he tomado no conduce tanto al final deseado, el cual me aseguras has alcanzado, como a cuestionar la veracidad de la geometría. Aunque he encontrado bastante que muchos pasarían por una prueba, pero que a mi juicio no prueba nada (por ejemplo, si pudiera mostrarse que un triángulo rectángulo es posible, cuya área es mayor que la de cualquier superficie dada), y por consiguiente estoy en posición de probar la totalidad de la geometría con todo rigor. Ahora bien, la mayoría de la gente admitiría esto, sin duda, como un axioma, pero yo no; es concebible, no importa qué tan separadas se escojan los tres vértices del triángulo, que aun así su área siempre estaría por debajo de cierto límite. He encontrado varios otros teoremas tales, pero ninguno de ellos me satisface”.

—Carta de Gauss a Bolyai, del 16 de diciembre de 1799.

FIGURA 4

“Es fácil probar que si la geometría de Euclides no es la verdadera, no existen figuras similares de ninguna clase: los ángulos de un triángulo equilátero también difieren según el largo de los lados, sobre lo que no encuentro nada absurdo. Luego el ángulo es una función del lado y el lado una función del ángulo; naturalmente, semejante función al mismo tiempo contiene una línea constante. Parece algo paradójico que una línea fija pueda de forma simultánea ser posible a priori; no obstante, no encuentro nada contradictorio en eso. Incluso ha de desearse que la geometría de Euclides no sea la verdadera, pues entonces tendríamos a priori una medida general, por ejemplo, uno podría tomar como una unidad de espacio el lado de ese triángulo equilátero, cuyo ángulo es igual a 59°59’59”.99999 (ver figura 4)”.

—Carta de Gauss a Gerling, del 11 de abril de 1816.

La contribución crucial de Riemann

En 1854, el año previo a la muerte de Gauss, sería su alumno Bernhard Riemann quien, al presentar su disertación de habilitación, sentaría “las hipótesis en que se fundamenta la geometría” y por fin satisfacería la petición de Kästner de una geometría de veras antieuclidiana:

“Supuesto que los cuerpos existen independientemente de la posición, la medida de curvatura es en todas partes constante, y entonces se sigue de las mediciones astronómicas que no puede ser diferente de cero; en todo caso, su valor recíproco debería ser un área frente a la cual la región accesible a nuestros telescopios tendría que resultar despreciable. Mas si no se da tal independencia de los cuerpos respecto a la posición, las relaciones métricas en lo grande no permiten extraer conclusiones para lo infinitamente pequeño; en ese caso, la medida de curvatura puede tomar en cada punto y en tres direcciones un valor cualquiera, siempre que la curvatura total de cada parte medible del espacio no sea perceptiblemente diferente de cero... Ahora bien, parece que los conceptos empíricos en los que se basan las determinaciones métricas espaciales, el concepto de cuerpo sólido y el de rayo de luz, pierden su validez en lo infinitamente pequeño; por tanto, bien podemos concebir que las relaciones métricas del espacio en lo infinitamente pequeño no sean conformes a los presupuestos de la geometría, y deberíamos suponer que de hecho es así tan pronto como esto permitiera explicar los fenómenos de manera más simple.

“La cuestión de la validez de los supuestos de la geometría en lo infinitamente pequeño es dependiente de la cuestión acerca del fundamento interno de las relaciones métricas del espacio. A propósito de esta cuestión, que bien puede encontrarse aun entre las pertenecientes a la teoría del espacio, se aplica la consideración anterior de que, en el caso de una multiplicidad discreta, el principio de las relaciones métricas está contenido ya en el concepto de esa multiplicidad, pero en el de una continua debe añadirse y proceder de otra parte. Por tanto, o bien la realidad en que se funda el espacio constituye una multiplicidad discreta, o bien el fundamento de las relaciones métricas debe buscarse fuera, en las fuerzas de enlace que actúen sobre él.

“La decisión acerca de estas cuestiones sólo podrá encontrarse abandonando la anterior concepción de los fenómenos, bien contrastada en la experiencia, cuya base fue establecida por Newton, y reformándola poco a poco merced a los hechos que no permite explicar. Las investigaciones que, como la aquí desarrollada, parten de conceptos generales, sólo pueden servir para que dicho trabajo no se vea entorpecido por las limitaciones de los conceptos, y para que los prejuicios transmitidos no impidan el avance en el conocimiento de las conexiones entre las cosas.

“Esto nos lleva al dominio de otra ciencia, al terreno de la física, en el que, dada la naturaleza de la ocasión en que hoy nos encontramos, no podemos penetrar”.

—Sky Shields y Daniel Grasenack–Tente.

—Traducción de Fernando Espósito, miembro del Movimiento de Juventudes Larouchistas en Argentina.